스칼라 삼중곱(scalar triple product)

‘스칼라 삼중곱(scalar triple product)’의 형태는 다음과 같습니다.

두 벡터의 벡터곱(cross product)을 나머지 벡터와 스칼라곱(scalar product)한 것으로 정의합니다. 스칼라 삼중곱의 정의는 기하학적으로 평행육면체의 부피로부터 얻을 수 있습니다. 평행육면체의 부피는 밑변의 넓이와 높이의 곱으로 구해집니다.

[그림 1]의 평행육면체의 밑면의 넓이는 ‖B×C‖입니다. ‖B×C‖는 변이 ‖B‖, ‖C‖이고, 각도가 θ 인 평행사변형의 넓이이기 때문입니다. 또한, 평행육면체의 높이는 ‖A‖cosΦ 입니다. 그러면 평행육면체의 부피 V 는

이므로, 스칼라 삼중곱의 절댓값은 3개의 벡터로 만들어지는 평행육면체의 부피와 같다는 것을 알 수 있습니다. 하지만 스칼라 삼중곱의 절댓값 |A∙(B×C)|는 일반적으로 쓰이는 부피이고, A와 (B×C)가 이루는 각 Φ 가 예각이냐 또는 둔각이냐에 따라서 양의 부피이거나 또는 음의 부피가 됩니다. 그러므로

라 할 수 있습니다.

이제 스칼라 삼중곱을 단위벡터(unit vector)를 이용하여 행렬식(determinant)으로 전개해봅시다.

이므로 일반적으로 스칼라 삼중곱은 다음 공식

로부터 계산합니다. 여기서 3×3 행렬식은 두 행을 두 번 교환해도 같으므로(기본행연산) 첫 번째 성질을 알 수 있습니다.

위 스칼라 삼중곱에 절댓값을 씌우면 양의 부피와 같습니다. 이와 같이 음의 부피로부터 두 번째 성질 또한 알 수 있습니다.

또한,

위 식에서 점곱(dot product)은 교환법칙이 성립하므로

따라서 세 번째 성질은 다음과 같습니다.

즉, 스칼라 삼중곱에서는 점(dot, ∙ )과 가위(cross, × )를 맞바꿀 수 있습니다.

이제 정의들을 정리해 봅시다.

정의 1 평행육면체의 부피 V

정의 2 스칼라 삼중곱의 직각좌표 성분(행렬식)

정의 3 스칼라 삼중곱의 성질

같이 참고하면 좋은 글

점곱(dot product, 스칼라곱, 내적): http://ujerspace.blogspot.kr/2015/09/dot-product.html

벡터곱 (cross product, 가위곱): http://ujerspace.blogspot.kr/2015/09/cross-product.html