가우스 법칙(Gauss's law)

전기장에서 가우스 법칙에 대해 알아봅시다.
​
먼저 Electric field(전기장)에서의 flux(선속)란, 어떤 가상의 곡면을 지나는 electric field line(전기장선)의 수를 나타내는 물리량이며, 표면 S 를 지나는 electric field의 flux를 다음과 같이 정의합니다.

E는 electric field, da는 표면 S 위의 미소 면적을 나타내는 벡터, ∫_S 는 표면 S 전체에 대한 면적분을 의미합니다. 그러면 닫힌곡면 속에 point charge(점전하)가 있을 때, 반지름 r 인 구면을 지나가는 E의 flux는 다음과 같습니다.
​

q 는 point charge, ϵ_0는 진공의 유전율입니다. 닫힌곡면 속에 모든 electric charge(전하)를 감싸는 곡면을 지나는 선속은 superposition principle(중첩 원리)에 따라 다음과 같습니다.

따라서 모든 닫힌곡면에 대해 다음 식이 성립합니다.

​

Q_enc 는 닫힌곡면 속에 든 총 electric charge 즉, 닫힌곡면 속의 알짜 전하량입니다. 이 식이 가우스 법칙을 나타내는 식입니다. 즉, 닫힌곡면을 통과하는 전기 flux는 닫힌곡면 속의 알짜 전하량에 비례한다는 법칙입니다. 위의 가우스 법칙은 적분방정식이지만 발산 정리를 써서 미분방정식으로 쉽게 바꿀 수 있습니다.

Q_enc 를 전하밀도 ρ 로 나타내면 다음과 같습니다.

따라서 가우스 법칙은 다음과 같이 됩니다.

이것은 어떤 부피에서나 성립하므로, 양쪽의 피적분함수가 같아야 합니다.

이 식이 미분꼴 가우스 법칙입니다.