함수의 평균값

함수의 평균값에 대하여 알아봅시다.

평균값은 주어진 숫자들을 더하고, 숫자의 개수로 나누어 구할 수 있습니다. 즉, 유한개의 수

의 평균값을 계산하는 방법은 다음과 같습니다.

x_ave는 평균값, n 은 주어진 숫자의 개수입니다. 이와 같이 함수도 평균에 대한 어림을 구할 수 있습니다. 구간 (a, b)에서 함수 f (x )의 평균값은 어림하여

이와 같습니다. f (x )_ave 는 n 이 증가할수록 더 좋은 어림 방법이 됩니다. 그런데 구간 (a, b)을 n 으로 나눈 부분구간의 폭이 ∆x 이므로

이며, f (x )_ave는

이 됩니다. 만일 n 이 증가하면 좁은 간격으로 분포되어 있는 점에서 많은 함숫값들의 평균값이 계산될 것입니다. n →∞이고 ∆x →∞인 극한을 취하면, 정적분 정의에 의하여 f (x )_ave의 극한값은

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이 됩니다. 그러므로 구간 (a, b) 위에서 함수 f (x )의 평균값을

​​

와 같이 정의합니다.