복소수의 사칙연산

이 글을 읽기 전 복소수에 대한 기초지식이 없다면

제목: 복소수
http://ujerspace.blogspot.kr/2015/10/complex-number.html

위 글을 읽고 참고하시면 더욱 좋습니다.


           복소수는 0으로 나누는 경우를 제외하면 사칙연산을 자유롭게
행할 수 있습니다. 복소수를 더하고 빼거나, 곱할 때, 복소수는 대응 벡터연산과 같이 일반적인 연산규칙을 따릅니다.

▶ 복소수의 덧셈과 뺄셈, 곱셈

           두 복소수가 같다고 할 때에는, 두 복소수의 실수부와 허수부가
모두 같다고 함을 의미합니다. 예를 들어 임의의 복소수는 직교형태인 x +iy 의 형태로 쓸 수 있는데 두 복소수

식 (1.1)

가 있고,

식 (1.2)

라고 하면, 두 복소수 a +ib 와 c +id 는 같은 복소수라 합니다.

위와 같으므로, 복소수의 덧셈은 실수부와 허수부끼리 더함으로써 연산이 이루어 집니다.

식 (1.3)

복소수의 뺄셈과 복소수와 실수와의 곱셈 또한 같습니다.

식 (1.4)

식 (1.5)

복소수끼리 곱할 때 에는 일반적인 연산규칙을 따르고,

식 (1.6)

와 같이 취해 주는 것만 기억해주면 됩니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

식 (1.7)

그러므로 복소수끼리의 곱셈은 다음 정의를 암시합니다.

식 (1.8)

▶ 켤레 복소수

           임의의 복소수

식 (1.9)

가 있을 때 복소수 z 의 켤레(coujugate)복소수는 z̅ (“z 바”라 읽음) 혹은 z^* 로 표시되고, 정의는 다음과 같습니다.

식 (1.10)

[그림 1]에서 볼 수 있듯이 기하학적으로 z̅ 는 z 를 실수축에 대해 반사시킨 상입니다.

[그림 1] 복소수의 켤레

즉, z̅ 는 z 의 허수부의 부호를 반대로 함으로써 얻어집니다.

예를 들어 복소수 z 가

식 (1.11)

라고 하면, z 의 켤레 복소수는

식 (1.12)

이와 같습니다.
또한, 두 복소수의 합에 대한 켤레는 이 수의 켤레들의 합과 같습니다,

식 (1.13)

여기서 주의해야 할 점은 만일 복소수 z 가

식 (1.14)

이고, f 와 g 가 복소수라면 z 의 켤레 복소수는

식 (1.15)

이가 됩니다.

▶ 모듈러스(modulus)

           복소수 z 를 R^2 의 벡터로 생각하는 겨우 벡터의 길이 또는 노름을 z 의 모듈러스(또는 절대값)라고 합니다.

임의의 복소수

식 (1.16)

가 있을 때,

식 (1.17)

이고, 극좌표계에서는

식 (1.18)

이고,

식 (1.19)

이므로 즉,

식 (1.20)

가 됩니다. 여기서 a, b, r 은 실수이기 때문에 zz̅ 는 항상 실수이고

식 (1.21)

입니다. 따라서 z 의 모듈러스(또는 절대값)을 다음으로 정의합니다.

식 (1.22)

위의 정의에서

식 (1.23)

이면

식 (1.24)

는 실수이고,

식 (1.25)

이므로, z 의 모듈러스는 그 절대값에 지나지 않습니다. 그 이유로 z 의 모듈러스를 또한 z 의 절대값이라고 합니다.

▶ 복소수의 나눗셈

           복소수의 나눗셈을 곱셈의 역으로 정의하겠습니다. 세 복소수

식 (1.26)

가 있고,

식 (1.27)

라 할 때에 식 (1.27)은

식 (1.28)

이와 같이 표기할 수 있습니다. 식 (1.27)에서 실수부와 허수부를 같도록 놓으면

식 (1.29)

즉,

식 (1.30)

복소수 z_2 는

식 (1.31)

이므로 a_2 와 b_2 모두 영이 아님이 성립합니다. 따라서,

식 (1.32)

이고, 크라메르 공식에 의하여 식 (1.30)는 다음의 유일한 해를 갖습니다.

식 (1.33)

그러므로,

식 (1.34)

따라서, z_2≠0 에 대해서 다음과 같이 정의합니다.

식 (1.35)

식 (1.35)의 정의에 의하여 복소수를 복소수로 나눌 때에는 먼저 이 나눗셈을 분수로 표현한 후, 분자와 분모에 분모의 켤레를 곱하여 분수를 직교형태로 만듭니다. 이 방법을 쓰면 분모는 실수가 됩니다.

예를 들어 다음과 같습니다.

식 (1.36)

정리

정리 1 복소수의 덧셈

정리 1

정리 2 복소수의 뺄셈

정리 2

정리 3 복소수의 곱셈

정리 3

정리 4 복소수의 나눗셈

정리 4

정리 5 복소수의 모듈러스(절댓값)

정리 5